第四模块数学史第13页练习以及巩固练习-高中数学教师资格考试

第一部分 古典时期的希腊数学

1.下列不属于古典时期希腊数学代表学派的是（ ）

A.爱奥尼亚学派

B.毕达哥拉斯学派

C.亚历山大学派

D.巧辨学派

答案：C

答案解析：古典时期的希腊数学主要学派包括爱奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派、巧辨学派（也称为智人学派）等，亚历山大学派属于希腊数学的亚历山大时期（后期），因此本题选C。

2.提出“万物皆数”，认为数的本原即是万物的本原的古希腊学派是（ ）

A.爱奥尼亚学派

B.毕达哥拉斯学派

C.巧辩学派

D.柏拉图学派

答案：B

答案解析：毕达哥拉斯学派的核心观点是“万物皆数”，这里的数指的是整数，该学派认为宇宙的本质是数的和谐，因此本题选B。爱奥尼亚学派开创了希腊理性数学的传统，柏拉图学派强调数学对哲学的重要性，巧辩学派主要研究几何三大作图问题，因此A、C、D错误。

3.巧辨学派提出的几何三大作图问题不包括下列哪一项？（ ）

A.倍立方问题

B.化圆为方问题

C.三等分任意角问题

D.作正十七边形问题

答案：D

答案解析：巧辨学派提出的几何三大作图问题为：三等分任意角、倍立方（作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍）、化圆为方（作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积），三个问题都要求仅用尺规作图完成。作正十七边形问题是高斯在19岁时解决的古典数学问题，不属于三大作图问题，因此本题选D。

4.第一次数学危机的核心是发现了（ ）

A.无理数

B.虚数

C.素数

D.无限不循环小数

答案：A

答案解析：毕达哥拉斯学派认为万物都可以表示为整数或整数之比，而该学派成员希帕索斯发现边长为1的正方形对角线长度不能表示为整数之比，也就是发现了无理数，这冲击了毕达哥拉斯学派的核心信仰，引发了第一次数学危机。无限不循环小数是无理数的表现形式，第一次数学危机是由不可公度量的发现引发，核心是无理数的发现，因此本题选A。

5.古希腊数学家欧多克索斯解决了不可公度量的问题，他建立的理论是（ ）

A.比例论

B.极限论

C.穷竭法

D.无理数理论

答案：A

答案解析：欧多克索斯为了处理不可公度量，建立了比例论，将比例理论建立在公理的基础上，回避了无理数的实质定义，暂时解决了第一次数学危机带来的矛盾。穷竭法也是欧多克索斯创立的，用于求面积体积，因此本题选A。

6.被称为古希腊“论证几何学鼻祖”的数学家是（ ）

A.毕达哥拉斯

B.泰勒斯

C.欧几里得

D.亚里士多德

答案：B

答案解析：泰勒斯是爱奥尼亚学派的创始人，他最早开创了命题证明的思想，将演绎推理引入数学，被称为论证几何学的鼻祖，因此本题选B。欧几里得是欧氏几何的创立者，晚于泰勒斯，因此C错误。

7.古希腊柏拉图学派强调数学概念的抽象意义，提出了许多重要的数学思想，下列哪一个观点是柏拉图提出的？（ ）

A.点是位置的单元

B.万物皆数

C.数学是研究现实世界的

D.不懂几何者不得入内

答案：D

答案解析：柏拉图在雅典创立了柏拉图学园，门口立牌“不懂几何者不得入内”，体现了该学派对数学的重视。“万物皆数”是毕达哥拉斯学派的观点，“点是位置的单元”是欧德谟的观点，因此本题选D。

8.古典希腊数学家阿基米德用穷竭法计算了下列哪个图形的面积？（ ）

A.圆

B.抛物线弓形

C.椭圆

D.球面

答案：B

答案解析：阿基米德在《抛物线求积法》中，用穷竭法求出了抛物线弓形的面积，结果与现代积分法结果一致，展现了近代积分思想的萌芽，因此本题选B。

9.希波克拉底在研究几何三大问题时，解决了下列哪个问题？（ ）

A.倍立方问题

B.化月牙形为方

C.三等分任意角

D.化圆为方

答案：B

答案解析：希波克拉底在研究化圆为方问题时，证明了月牙形的面积可以转化为三角形的面积，也就是化月牙形为方，推进了化圆为方问题的研究，因此本题选B。

10.下列关于古典希腊数学的特点，说法错误的是（ ）

A.强调数学的抽象性

B.重视演绎推理

C.将数学和哲学紧密结合

D.强调数学的实际应用，忽视理论研究

答案：D

答案解析：古典希腊数学的显著特点是重视演绎推理和理论研究，强调数学的抽象性和理性价值，很多希腊数学家不重视数学的实际应用，因此D选项说法错误，本题选D。

第二部分 微积分的诞生

11.近代微积分思想的萌芽最早可以追溯到古希腊时期，下列方法中蕴含了积分思想萌芽的是（ ）

A.穷竭法

B.归谬法

C.比例论

D.分析法

答案：A

答案解析：穷竭法是古希腊欧多克索斯创立，阿基米德发展的一种求面积体积的方法，通过不断分割、取极限逼近所求图形的面积体积，蕴含了近代积分学的思想萌芽，因此本题选A。

12.16世纪之后，许多数学家为微积分的诞生做了铺垫工作，下列不属于微积分诞生前期的数学成果的是（ ）

A.卡瓦列利的不可分量法

B.费马的极值方法

C.牛顿的流数术

D.开普勒的旋转体体积计算

答案：C

答案解析：牛顿的流数术是微积分诞生的标志性成果，不属于诞生前期的铺垫成果，开普勒、卡瓦列利、费马都在牛顿和莱布尼茨之前，为微积分的创立做出了前期准备，因此本题选C。

13.第一个研究了求切线的一般方法，并被认为是微积分的先驱者之一的法国数学家是（ ）

A.帕斯卡

B.费马

C.笛卡尔

D.拉格朗日

答案：B

答案解析：费马早在1629年就提出了求切线、求极值的方法，已经非常接近现代的微分方法，因此被认为是微积分的先驱，本题选B。笛卡尔发明了解析几何，也为微积分提供了坐标系基础，但在求切线方法上费马的贡献更直接，因此不选C。

14.微积分的诞生是两个数学家独立完成的，他们是（ ）

A.牛顿和莱布尼茨

B.牛顿和巴罗

C.莱布尼茨和欧拉

D.伽利略和笛卡尔

答案：A

答案解析：牛顿在1665-1666年提出了流数理论，也就是早期的微积分，莱布尼茨在1673-1676年独立研究得出了微积分的基本理论，两人被公认为微积分的独立创立者，因此本题选A。

15.牛顿将微积分研究和物理学研究结合，他把变量叫做“流量”，把变量的变化率叫做（ ）

A.导数

B.流数

C.瞬时变化率

D.增量

答案：B

答案解析：牛顿在他的流数理论中，把随时间变化的变量叫做流量，把流量的变化率叫做流数，这套命名体系是牛顿微积分的特点，因此本题选B。

16.莱布尼茨在创立微积分时，引入了非常简洁的符号系统，我们现在使用的积分符号是莱布尼茨从哪个单词变形而来的？（ ）

A.sum（和）

B.integral（积分）

C.differential（微分）

D.limit（极限）

答案：A

答案解析：积分的本质是无穷小量的和，莱布尼茨用拉长的s代表sum（和），也就是现在的积分符号，这个符号一直沿用至今，因此本题选A。

17.微积分诞生之后，为什么会引发第二次数学危机？（ ）

A.微积分的结果总是错误

B.微积分的基础无穷小量概念不清晰

C.极限理论没有建立

D.牛顿和莱布尼茨的微积分存在矛盾

答案：B

答案解析：无论是牛顿还是莱布尼茨，早期的微积分都建立在模糊的无穷小量概念基础上，无穷小量一会被当做0消去，一会又当做非零量参与除法运算，逻辑上存在矛盾，被贝克莱大主教攻击，引发了第二次数学危机。极限理论后来建立解决了这个问题，核心矛盾是无穷小量概念不清晰，因此本题选B。

18.17世纪促使微积分诞生的四类科学问题不包括下列哪一项？（ ）

A.已知物体运动的路程关于时间的函数，求瞬时速度和加速度

B.求曲线的切线

C.求函数的极值最值

D.求素数的分布规律

答案：D

答案解析：17世纪推动微积分诞生的四类核心问题是：运动学中的速度加速度问题、几何中的切线问题、函数的极值最值问题、求曲线的长度、图形的面积体积问题，素数分布是数论问题，不属于促使微积分诞生的科学问题，因此本题选D。

19.提出“巴罗三角形”，在求切线问题上做出重要贡献，并且是牛顿的老师的数学家是（ ）

A.巴罗

B.沃利斯

C.胡克

D.哈雷

答案：A

答案解析：巴罗是牛顿的老师，他提出了特征三角形（也叫巴罗三角形），得到了求切线的方法，并且已经认识到微分和积分是互逆的运算，为微积分的创立做出了重要贡献，因此本题选A。

20.下列关于牛顿和莱布尼茨创立微积分的说法，正确的是（ ）

A.牛顿先发表了微积分成果，莱布尼茨后发表

B.莱布尼茨先发表了微积分成果，牛顿先完成研究

C.两人同时完成同时发表

D.牛顿完全抄袭了莱布尼茨的成果

答案：B

答案解析：牛顿早在1665-1666年就完成了流数理论的研究，但迟迟没有正式发表成果，莱布尼茨在1670年代完成研究，并且在1684年率先发表了关于微分的论文，成为第一个正式发表微积分成果的数学家，因此是牛顿先研究，莱布尼茨先发表，两人都是独立创立，不存在抄袭，因此本题选B。

第三部分 千古谜题

21.前面提到的古希腊几何三大尺规作图问题，最终被证明都不可尺规作图完成，证明的时间是在（ ）

A.17世纪

B.18世纪

C.19世纪

D.20世纪

答案：C

答案解析：19世纪，伽罗瓦创立群论，旺策尔、林德曼等人分别证明了倍立方、三等分任意角不可能尺规作图，化圆为方因为是超越数也不可能尺规作图，最终解决了困扰数学家两千多年的三大几何问题，因此本题选C。

22.费马大定理的内容是：当整数$n>2$时，方程（ ）

A.没有正整数解

B.没有整数解

C.恰有一组正整数解

D.有无穷多组正整数解

答案：A

答案解析：费马大定理的表述是：当整数$n>2$时，方程不存在正整数解，时就是勾股定理，存在无穷多组正整数解，因此本题选A。

23.费马大定理最终被哪位数学家证明？（ ）

A.欧拉

B.怀尔斯

C.高斯

D.费马

答案：B

答案解析：费马大定理提出后，困扰了数学家300多年，欧拉、高斯等数学家都只证明了部分情况，1994年英国数学家安德鲁·怀尔斯完成了费马大定理的证明，1995年正式发表，因此本题选B。

24.哥德巴赫猜想的内容可以表述为“任一大于2的偶数都可写成（ ）”

A.两个素数之和

B.两个奇素数之和

C.一个素数和一个合数之和

D.三个素数之和

答案：B

答案解析：现在常用的哥德巴赫猜想表述是：任一大于2的偶数都可以写成两个奇素数之和，原来的表述是“任一大于2的整数都可以写成三个素数之和”，后来欧拉整理为现在常见的表述，因为大于2的偶数，2本身是偶数，两个奇素数相加都是偶数，因此本题选B。

25.中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想研究中取得的成果是（ ）

A.证明了“1+1”

B.证明了“1+2”

C.证明了“2+2”

D.证明了“3+3”

答案：B

答案解析：陈景润在1966年证明了“1+2”，也就是任一充分大的偶数都可以表示为一个素数和一个不超过两个素数乘积之和，这是目前哥德巴赫猜想研究的最好成果，距离最终证明“1+2”（两个素数之和）只有一步之遥，因此本题选B。

26.四色定理的内容是：任何一张平面地图，只用四种颜色，就可以让相邻的（ ）都染上不同的颜色，四色定理最终是通过哪种方式证明的？（ ）

A.人工经典证明

B.计算机辅助证明

C.归纳法证明

D.至今没有证明

答案：B

答案解析：四色定理提出后，困扰数学家一百多年，1976年阿佩尔和哈肯利用计算机，经过上百亿次运算，最终证明了四色定理，这是第一个用计算机辅助证明的重大数学定理，因此本题选B。

27.尺规作图能作出的正多边形，边数一定满足什么条件？（ ）

A.边数是偶数

B.边数是费马素数

C.边数是2的幂次乘以若干个不同的费马素数的乘积

D.边数小于100

答案：C

答案解析：高斯最早证明了正n边形可以尺规作图当且仅当n是2的幂次，或者是2的幂次乘以若干个不同的费马素数的乘积，因此本题选C。B选项只说了费马素数，漏掉了2的幂次以及多个不同费马素数乘积的情况，因此不选。

28.千古谜题“化圆为方”问题最终被证明不可尺规作图完成，根本原因是（ ）

A.是无理数

B.是超越数

C.是无限不循环小数

D.没有人想到作图方法

答案：B

答案解析：化圆为方问题等价于尺规作图作出长度为的线段，1882年林德曼证明了是超越数，不是任何整系数代数方程的根，因此不可能通过尺规作图得到，所以化圆为方不可行，是无理数不能说明它一定不能作，比如也是无理数，但是可以尺规作图作出，因此根本原因是是超越数，本题选B。

29.三等分任意角不能尺规作图完成的根本原因是（ ）

A.没有找到合适的作图方法

B.任意角的三等分角线是超越线段

C.三等分问题会导出三次方程，三次方程没有有理根且不能分解为一次因式与二次因式，因此不可尺规作图

D.尺规作图只能作一次方程的根，不能作高次方程的根

答案：C

答案解析：三等分任意角问题，用解析几何的方法转化为代数问题，得到一个三次方程，根据伽罗瓦理论，尺规作图只能得到二次方程或次数为2的幂次的方程的根，当三次方程不可约时，无法通过尺规作图得到根，因此一般的任意角不能三等分，A是表面现象，不是根本原因；D说法错误，尺规作图可以得到四次（2的幂次）方程的根；因此本题选C。

30.下列哪个谜题至今还没有被完全证明？（ ）

A.费马大定理

B.哥德巴赫猜想

C.几何三大问题

D.四色定理

答案：B

答案解析：费马大定理1994年被怀尔斯证明，几何三大问题19世纪已经被证明不可尺规作图，四色定理1976年已经被计算机证明，哥德巴赫猜想目前只有陈景润的“1+2”结果，最终结论还没有被证明，因此本题选B。