公务员行测中册教材第一章第一节12-15题

中册第一章第一节第5页（二）高难进阶

1. （2019 福建 67）在一次马拉松比赛中，某国运动员包揽了前四名，他们佩戴的参赛号码很有趣：运动员甲的号码加 4，乙的号码减 4，丙的号码乘 4，丁的号码除以 8，所得的数字都一样。这四个号码中有 1 个三位数号码，2 个两位数号码，1 个一位数号码，且其中一位运动员在比赛中取得的名次也与自己的号码相同。那么其中三位数的号码为： 【B】

A. 120

B. 128

C. 256

D. 512

设四位运动员经过运算后所得的相同数字为( x )，则甲的号码为( x - 4 )，乙的号码为( x + 4 )，丙的号码为，丁的号码为( 8x )。

由于号码均为正整数，所以( x )必须是4的倍数，设( x = 4k )（( k )为正整数），则各号码可转化为：甲为( 4k - 4 = 4(k - 1) )，乙为( 4k + 4 = 4(k + 1) )，丙为( k )，丁为( 32k )。

已知四个号码包含1个三位数、2个两位数和1个一位数，且丁的号码( 32k )随( k )增大最快，优先考虑丁为三位数：，解得（( k=4 )时，( 32×4=128 )）。同时，丙的号码( k )需为一位数，故。因此( k )的取值范围为4到9。

依次验证各( k )值：

①　( k=4 )：甲=12，乙=20，丙=4，丁=128。号码类型为：12（两位数）、20（两位数）、4（一位数）、128（三位数），符合“1个三位数、2个两位数、1个一位数”的条件。进一步检查名次与号码是否相同：四名运动员名次为1到4，丙的号码是4，与第四名（丁是三位数不可能为4，甲12、乙20均大于4）相符，满足“其中一位运动员名次与自己号码相同”。

②　( k=5 )：甲=16，乙=24，丙=5（一位数但名次最大为4，5不符合名次要求），丁=160。因丙的号码5超出名次范围，排除。

③　( k=6 )：甲=20，乙=28，丙=6（超出名次范围），丁=192，排除。

④　( k=7 )：甲=24，乙=32，丙=7（超出名次范围），丁=224，排除。

⑤　( k=8 )：甲=28，乙=36，丙=8（超出名次范围），丁=256，排除。

⑥　( k=9 )：甲=32，乙=40，丙=9（超出名次范围），丁=288，排除。

其他可能情况：若丁不是三位数，则甲、乙、丙中需有一个三位数。当( k=3 )时，丁=96（两位数），甲=8（一位数），乙=16（两位数），丙=3（一位数），无三位数，不满足；( k=10 )时，丙=10（两位数），此时号码为甲=36，乙=44，丙=10，丁=320，出现2个三位数（320、10不是三位数，此处错误，应为丁=320（三位数），丙=10（两位数），甲=36（两位数），乙=44（两位数），共1个三位数、3个两位数，不符合条件。

综上，只有( k=4 )时所有条件均满足，三位数号码为丁的128。

答案：128

2. （2023 辽宁 66）美术培训班有 3 名学员，他们的年龄满足以下条件：他们的年龄都是正整数；2 号学员的年龄是 1 号学员年龄的一半；3 号学员比2号学员大7岁； 3名学员的年龄之和是不超过 70 的素数，且该素数的各位数字之和为 13。那么这 3位学员的年龄分别是多少岁？ 【D】

A. 12、6、13

B. 20、10、17

C. 24、12、19

D. 30、15、22

设1号学员的年龄为(x)岁，因为2号学员的年龄是1号学员年龄的一半，所以2号学员的年龄为岁，又因为年龄是正整数，所以(x)必须是偶数，设（(k)为正整数），则2号学员年龄为(k)岁。3号学员比2号学员大7岁，所以3号学员的年龄为((k + 7))岁。

三名学员年龄之和为。已知年龄之和是不超过70的素数，且各位数字之和为13。不超过70且各位数字之和为13的数有：49（4+9=13，49不是素数）、58（5+8=13，58不是素数）、67（6+7=13，67是素数）。所以年龄之和只能是67岁。

则，解得，。因此1号学员年龄为岁，2号学员年龄为岁，3号学员年龄为岁。

验证：30、15、22均为正整数，15是30的一半，22比15大7，年龄之和30+15+22=67，67是不超过70的素数且各位数字之和6+7=13，符合所有条件。

综上，这3位学员的年龄分别是30岁、15岁、22岁。

3. （2020 四川 49）高校某教研室某年承接部级科研项目 5 个，经费总额为 500万元，且每个项目经费都是整数万元。已知经费最多的两个项目平均经费与经费最少的两个项目经费之和相同，问经费排名第三的项目可能的最低经费金额为多少万元？ 【C】

A. 145

B. 142

C. 74

D. 71

设5个项目经费从高到低分别为(a)、(b)、(c)、(d)、(e)（均为整数万元），且。已知总经费，且“经费最多的两个项目平均经费与经费最少的两个项目经费之和相同”，即，可得。将其代入总经费公式，得，化简为。要使(c)最小，需使(d+e)最大。

因，则，即，又，故。同时，设，则，，且。为保证，即，又，且，则，即。因此，可得，即。

又因，即，而，故，解得，所以(k)最大为142（整数）。此时(c=500 - 3×142=500 - 426=74)。验证：，（因），；(b)需满足，取，则(a=2×142 - 142=142)，此时，，，，满足所有条件（）。

若，则(c=500 - 3×143=500 - 429=71)，此时，即，则，与矛盾，故(k)最大为142，(c)最小为74。

答案：74

4. （2023 江苏 B 56）某高新技术企业为扩大业务，招收了两批新员工，原计划每批招收的人数相同，实际第二批多招了 4 人，结果第一批和第二批招收后员工人数新增的百分比相同。若第二批再多招 6 人，则员工总人数是两次招收前员工人数的1.5 倍。该企业招收两批新员工前的员工人数是： 【B】

A. 96

B. 100

C. 104

D. 108

 

设该企业招收两批新员工前的员工人数为( x )人，原计划每批招收( y )人。

关键条件分析与方程构建：

1.       第一批和第二批招收后员工人数新增的百分比相同

(1)                      第一批实际招收( y )人，新增百分比为。

(2)                      第二批实际招收( y + 4 )人，此时企业总人数为( x + y )，新增百分比为。

(3)                      由于百分比相同，可得方程：

 

交叉相乘化简：( y(x + y) = x(y + 4) ) →→→。

2.       第二批再多招6人，总人数是原人数的1.5倍

(1)                      第二批实际招收( y + 4 + 6 = y + 10 )人。

(2)                      两次招收后总人数为( x + y + (y + 10) = x + 2y + 10 )。

(3)                      依题意： →  → ( x = 4y + 20 )。

联立方程求解：

由和( x = 4y + 20 )可得：

 

两边同乘4：→。

因式分解：( (y - 20)(y + 4) = 0 )，解得( y = 20 )（( y = -4 )舍去，人数不能为负）。

代入( x = 4y + 20 )：( x = 4×20 + 20 = 100 )。

结论：

该企业招收两批新员工前的员工人数是100人。

答案：100

5. （2021 江苏 A 62）小王去超市购买便携包和小哑铃作为知识竞赛活动的奖品。这两种商品超市正在进行促销，便携包单价 18 元，买 2 送 1；小哑铃单价 12 元，买3 送 1。小王按计划购买了便携包和小哑铃合计 56 个，共使用活动经费 606 元，则他购买小哑铃的数量是： 【B】

A. 24 个

B. 25 个

C. 26 个

D. 27 个

答案解析

设小王购买便携包的数量为 ( x ) 个，购买小哑铃的数量为 ( y ) 个，根据题意可列方程组：

1.       数量关系：( x + y = 56 )

2.       费用关系：需结合促销规则计算实际支付金额。

一、分析便携包的促销规则与费用

便携包单价18元，买2送1（即每3个为一组，只需支付2个的费用）。

设便携包的组数为 ( a )，剩余单个购买的数量为 ( b )（，因买2送1，若则可再凑成一组），则：

( x = 3a + b )

实际支付便携包费用为：

二、分析小哑铃的促销规则与费用

小哑铃单价12元，买3送1（即每4个为一组，只需支付3个的费用）。

设小哑铃的组数为 ( c )，剩余单个购买的数量为 ( d )（，因买3送1，若则可再凑成一组），则：

( y = 4c + d )

实际支付小哑铃费用为：

三、代入总费用方程并化简

总费用为606元，即：

18(2a + b) + 12(3c + d) = 606

化简得：

3(2a + b) + 2(3c + d) = 101 （两边同除以6）

6a + 3b + 6c + 2d = 101

6(a + c) + 3b + 2d = 101

四、结合数量关系 ( x + y = 56 ) 进一步分析

由 ( x = 3a + b ) 和 ( y = 4c + d )，得：

3a + b + 4c + d = 56

设 ( k = a + c )，则 ( 3k + b + c + d = 56 )，即 ( b + c + d = 56 - 3k )。但此式暂不直接使用，需通过试值法确定 ( a, c, b, d ) 的整数解。

五、试值法确定小哑铃数量 ( y )

因 ( 6(a + c) ) 为偶数，( 101 ) 为奇数，故 ( 3b + 2d ) 必为奇数。

1．       ( 3b ) 为奇数时，( b = 1 )（( b = 0 ) 时 ( 3b = 0 ) 为偶数，不符合剩余单个购买条件）；

2．       则，故 ( 2d = 101 - 6k - 3 = 98 - 6k )，即 ( d = 49 - 3k )。

因，则：

 

解得：

 

故 ( k = 16 )（( k ) 为整数），代入得。

六、计算便携包与小哑铃数量

1．       ( k = a + c = 16 )，( b = 1 )，( d = 1 )。

2．       代入数量方程：。

3．       又 ( a = 16 - c )，代入得：。

4．       则小哑铃数量。

验证费用

(1)                      便携包：( a = 16 - c = 10 )，个，费用为元。

(2)                      小哑铃：( y = 25 ) 个，费用为元。

(3)                      总费用：( 378 + 228 = 606 ) 元，符合题意。

结论：小王购买小哑铃的数量是 25

 

6. （2022 江苏 B 64）某学者认为，人类的体力、情绪、智力自出生日起分别以22 天、28 天、33 天为周期开始往复循环变化，前半个周期是“高潮期”，后半个周期是“低潮期”。根据该学者的观点，我们过公历生日时，体力、情绪和智力同时处于“高潮期”的最小年龄是： 【C】

A. 4 周岁

B. 3 周岁

C. 2 周岁

D. 1 周岁

本题可通过代入选项计算每个周岁生日时体力、情绪和智力是否都处于“高潮期”，从而找出符合条件的最小年龄。

已知人类的体力、情绪、智力自出生日起分别以22天、28天、33天为周期开始往复循环变化，前半个周期是“高潮期”，后半个周期是“低潮期”。因为要找最小年龄，所以从最小的选项开始代入。

1．代入D选项：1周岁通常按天计算，计算体力周期：365÷22=16（个周期）......3（天），由于22天周期的前半个周期是“高潮期”，即前11天是“高潮期”，13天不属于前半个周期，所以体力不处于“高潮期”，该选项排除。

2．代入C选项：2周岁是365×2=730天。

(1)体力：730÷22=33（个周期）......4（天），4<11处于“高潮期”。

(2)情绪：730÷28=26（个周期）......2（天），2<14处于“高潮期”。

(3)智力：730÷33=22（个周期）.....4（天），4<16.5处于“高潮期”。

此时体力、情绪和智力均处于“高潮期”，满足条件。

综上，体力、情绪和智力同时处于“高潮期”的最小年龄是2周岁，答案选C。