数量关系（一解题思想）【行测】-湛江公务员培训

数量关系

一、解题思想

▲代入排除思想

（1）使用范围

1. 看题型： 多位数、年龄、余数、不定方程。

2. 看选项：

3. 选项信息充分； 选项为一组数。（问法：分别 / 各）

4. 剩两项： 只代其中一个。

（2）使用方法

1. 先排除： 奇偶、倍数、尾数。

2. 再代入：

（1） 从简原则： 方便计算的数，整十、整百的数。

（2）最值原则： 问最大，从最大开始代入； 问最小，从最小开始代入。对于生活中的问题， 注意用生活思维。

随笔练习

1. 一群学生分小组在户外活动，如 3 人一组还多 2 人， 5 人一组还多 3 人， 7 人一组还 多 4 人，则该群学生的最少人数是（ ）。

A.23                                             B.53

C.88                                           D.158

※【答案】B。解析：题干正面计算复杂，使用代入排除法。求的最少从最小的开始代入。 代入 A 项：当学生人数为 23 时，23-4=19，不是 7 的倍数，不满足题意，排除。代入 B 项：  当学生人数为 53 时，53-2=51，可以被 3 整除；53-3=50，可以被 5 整除；53-4=49，可以  被 7 整除，满足题干所有条件，当选。故本题选 B。

2. 两件快递的重量之比是 3：2，去除包装之后的重量之比是 9：5。若包装重量都是 120 克， 则两件快递的重量分别是（ ）。

A.390 克、260 克                        B.480 克、320 克

C.540 克、360 克                        D.630 克、420 克

※【答案】 B。解析题干条件清晰，使用代入排除法。

▲倍数特性思想

（1）整除型

如果 A=B×C（B、C 均为整数），那么 A 能被 B 整除，且 A 能被 C 整除。 使用范围：平均分配物品、平均数。

三量关系（A=B×C）：行程问题、工程问题、经济利润问题。

（2）余数型

若总数 =ax ＋ b， 则（总数 -b） 一定能被 a 整除。（a，x 均为整数）

（3）比例型

随笔练习

1. 如下图， 一个正方体的表面上分别写着连续的 6 个整数，且每个相对面上的两个数的 和都相等，则这 6 个整数的和为（ ）。

※【答案】C。解析：相对面数字和相等，六面体共有三个相对面，所以加和一定是 3 的倍数， 每组相对面的和相等，设其为 n，则总和为 3n，即为 3 的倍数；或者 6 个连续的整数之和为  3 的倍数。只有 C 符合。

2. 在某公司年终晚会上，所有员工分组表演节目。如果按 7 男 5 女搭配分组，则只剩下

8 名男员工； 如果按 9 男 5 女搭配分组， 则只剩下 40 名女员工。该公司员工总数为（） 名。

A.446                   B.488               C.508               D.576

※【答案】 B。解析：假设两次分组的组数分别为 X 和 Y，总人数为 T 则：T=12X+8， T=14X+40，虽然三个未知数两个方程没法解，不过根据倍数特性，我们只要求的总人数，T-8 后是 12 的倍数，T-40 后是 14 的倍数，只有 B 选项满足条件。

▲余数特性思想

同余问题核心口诀  “最小公倍数作周期，余同加余，和同加同，差同减差”

余同加余： “一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1”，这个数是 60n+1； 和同加和： “一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1”，这个数是 60n+7； 差同减差： “一个数除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 6 余 5”，这个数是 60n-1.

在这里， 60 为（4、5、6 的最小公倍数）， n 的取值范围为整数， 可以为正数也可以是 取负数。

在题干中看到“某物按 x 个分组还余 y 个”的条件，这种分组、分类有余的题目就是典 型的余数特性题目。

随笔练习

1. 一群学生分小组在户外活动，如 3 人一组还多 2 人， 5 人一组还多 3 人， 7 人一组还 多 4 人，则该群学生的最少人数是(   )

A.23                     B.53                 C.88                 D.158

※【答案】B。解析：即该数需满足减2为3的倍数，减3为5的倍数，减4为7的倍数。 A 项：23-4=19，不能被 7 整除排除；B 项：53-2=51，53-3=50，53-4=49，分别能被 3，5， 7 整除，符合题干要求的是 B 选项。故正确答案为 B。

2. 一个盒子里有乒乓球 100 多个，如果每次取 5 个出来最后剩 4 个，如果每次取 4 个 最后剩 3 个，如果每次取 3 个最后剩 2 个，那么如果每次取 12 个最后剩多少个？(  )

A.11                    B.10                 C.9                   D.8

※【答案】A。解析：由题干条件“每次取 5 个最后剩 4 个”可知乒乓球的总数加 1 是 5 的倍数， 同理，乒乓球的总数加 1 是 4 的倍数，乒乓球的总数加 1 是 3 的倍数，即乒乓球的总数加 1  应同时是 5、4、3 的倍数，因此乒乓球的总数 =60n-1。由于乒乓球有 100 多个，即 100 ＜ 60n-1  ＜ 200，所以解得 n=2 或 3。当 n=2 时，乒乓球的数量 =60×2-1=119，每次取 12 个最后会  剩余 11 个；当 n=3 时，乒乓球的数量 =60×3-1=179，每次取 12 个最后也会剩余 11 个。故  本题选 A。

3. 学生在操场上列队做操，只知人数在 90-110 之间。如果排成 5 排则少 2 人；排成 7

排则少 4 人；则学生人数是多少 ?(  )

A 102                                            B 98

C 104                                         D 108

※【答案】D。解析：人数除以 5 余 3，除以 7 余 3，利用“最小公倍数作周期，同余加余”， 5×7=35，这个数为 35n+3，n=3 时人数为 35×3+3=108 人，故本题选 D。

▲奇偶特性思想

（1）在乘法中

若因子中存在偶数，则结果为偶数；无偶数则结果为奇数。

①奇数 × 奇数 = 奇数

②偶数 × 偶数 = 偶数

③奇数 × 偶数 = 偶数

若几个整数的和（或差） 为奇（或偶） 数， 则这几个整数的差（或和） 为奇（或偶） 数。

（2）在加减法中

两个因子奇偶性相同，则结果为偶数。两个因子奇偶性不同，则结果为奇数。

①奇数 ± 奇数 = 偶数

②偶数 ± 偶数 = 偶数

③奇数 ± 偶数 = 奇数

随笔练习

1.20 人乘飞机从甲市前往乙市，总费用为 27000 元。每张机票的全价票单价为 2000 元， 除全价票之外，该班飞机还有九折票和五折票两种选择。每位旅客的机票总费用除机票价格  之外，还包括 170 元的税费。则购买九折票的乘客与购买全价票的乘客人数相比为：(  )

A. 两者一样多                              B. 买九折票的多 1 人

C. 买全价票的多 2 人                    D. 买九折票的多 4 人

※【答案】A。解析：设购买全价票、九折票、五折票的人数分别为 a、b、c，由题 意 得 2000a+0.9×2000b+0.5×2000c+20×170=27000 ①;a+b+c=20 ②;   解 方 程 组 可 得 5a+4b=18。此时只能分析式子，因为 4b，18 为偶数，则由奇偶特性可知， a 为偶数，只有 a=2，b=2 时满足上式，所以购买全价票与九折票的人数一样多。故本题选 A。

2. 某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均有 5 排座位，甲 教室每排可坐 10 人，乙教室每排可坐 9 人。两教室当月共举办该培训 27 次，每次培训均座 无虚席，当月共培训 1290 人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训(   )

A.8                      B.10                 C.12                 D.15

※【答案】 D。解析：根据题干意思，我们可以设甲教室举办 x 次，乙教室举办 y 次，  根据题意我们可以得到二元一次方程：① 50x+45y=1290，② x+y=27，同样根据数的奇偶性，

在①式中 50x 为偶数，1290 也为偶数，那么 45y 也必须为偶数，则 y 必然为偶数，再根据② 式我们知道 x 必然为奇数，仅有 D 选项为奇数。故正确答案为 D。

▲赋值思想

工程问题、混合配比问题、加权平均问题、流水行船问题、往返行程问题、几何问题、 经济利润问题都常用到“赋值思想”。

当题目所给信息中未涉及到某个具体数量的大小，通常出现“倍数”“分数”“百分数”“比  例”，并且该数量的大小不影响最终所求结果，可赋值。观察题目所给的数值（分数、百分比、 比例）， 赋值数多为这些数的公倍数。

随笔练习

1. 要折叠一批纸飞机，若甲单独折叠要半个小时完成，乙单独折叠需要 45 分钟完成。 若两人一起折，需要多少分钟完成？( )

A.10                    B.15                 C.16                 D.18

※【答案】 D。解析：此题不知道总工程量的值，赋总工程量为 30 和 45 的最小公倍数 为 90，则甲效率为 3，乙效率为 2。则合作效率为 5，一共需 90÷5=18 分钟完成。

2. 师徒两人 3 天加工的零件总数分别为 240 个和 150 个，已知师徒二人每天加工的零

件个数为整数且彼此不相等。其中师傅加工零件数最少的那天比徒弟加工零件数最多的那天 多了 10 个。问师傅加工最多的一天至多比徒弟加工最少的一天多多少？(   )

A.42                    B.54                 C.68                 D.72

※【答案】C。解析： 由题目可知，师徒二人平均每天的加工量分别为 80，50。师傅最 多那天比徒弟最少那天多加工了 10 个，则取中间值分别为 70，60。求师傅至多一天比徒弟 最少一天多多少，则师傅前两天生产 70、71 个，徒弟前两天生产 60、59 个。差值 =240- 70-71-（150-60-59）=68 个。故正确答案为 C。

3. 某人银行账户今年底余额减去 1500 元后，正好比去年底余额减少了 25%，去年底余 额比前年底余额的 120% 少 2000 元。则此人银行账户今年底余额一定比前年底余额 ( )

A. 少 10%             B. 多 10%         C. 少 1000 元   D. 多 1000 元

※【答案】 A。 解 析： 假设前年底余额为 5000 元， 则 去 年 底 余 额 为 5000×120%- 2000=4000( 元 )，今年底余额则为 4000×75%+1500=4500( 元 )， 因此今年底余额比前面底 余额少 (5000-4500)÷5000=10%。

▲极限思想

出现“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最大”、“最小”等字眼时，我们 要有“极值思想”。

“极值思想”是分析题目条件后，构造出满足题意的最极端情况，是极值在构造法中的 运用形式。

题目提问中有“至少……才能保证 … …”那么“保证”后面的情况是必然发生的情况。即： 最不利情况数 +1。

随笔练习

1. 在一个不透明的布袋里有若干条四种不同颜色的围巾，其中白色 3 条，红色 5 条，蓝 色 8 条，彩色 4 条。如果每次取出一条，至少要取（ ）次才能保证取得白色围巾。

A.20                    B.18                 C.16                 D.13

※【答案】 B。解析：由题干的问法可知， 本题需要考虑最不利情况，最不利情况为所 有其他颜色都取完了，剩下的全为白色的，再取一次即可，故所求为 5+8+4+1=18 次。本题 选择 B 选项。

2. 某个社区老年协会的会员都在象棋、围棋、太极拳、交谊舞和乐器五个兴趣班中报名 了至少一项。如果要在老年协会中随机抽取会员进行调查，至少要调查多少个样本才能保证

样本中有 4 名会员报的兴趣班完全相同？(   )

A.93                    B.94                 C.96                 D.97

※【答案】 B。解析： 题目中出现“至少…保证…”，构造最不利情况。 老年协会的会

员在五个兴趣班中报名至少 一 项，则报名不同的情况数为 C5(1) + C5(2)  + C5(3)  + C5(4)  + C5(5)

=5+10+10+5+1=31。考虑最不利原则，有 4 名会员报兴趣班相同，最不利值为 3，则至少要 调查 31×3+1=94 人才能保证有 4 名会员报的兴趣班完全相同。故正确答案为 B。

3. 用 18 厘米长的警戒线围成各种长方形，要求场和宽的长度都是厘米数，则围成的长 方形的面积最大是多少？

A.18 平方厘米      B.20 平方厘米  C.25 平方厘米  D.40 平方厘米

※【答案】 B。解析：由题意可知长 + 宽 =9，要使得面积最大、长和宽尽可能接近，长 =5、宽 =4，面积 =5×4=20，选 B。

▲逆向推理思想

①逆向推导： 将过程颠倒，形成与之相反的运算过程从后往前获得所求值。

②正反互补：当所求情况过多、计算复杂时，可以考虑用整体减去与之相反的情况来求解， 简化计算过程。

随笔练习

1. 某数加上 5 再乘以 5 再减去 5 再除以 5，最终结果还是 5，这个数是多少？(   )

A.0                      B.1                  C.-1                D.5

※【答案】 B。解析： 典型的逆推法题目。题干已经给出了正面运算的步骤，我们将步 骤倒推即可得出原数。即（5×5+5）÷5-5=1，所以这个数是 1。故正确答案为 B。

2. 某市公安局从辖区 2 个派出所分别抽调 2 名警察，将他们随机安排到 3 个专案组工作， 则来自同一派出所的警察不在同一组的概率是？(   )

A.                     B.                 C.                 D. 

※【答案】A。解析：首先算出总的情况数，从 4 人中选 2 人，即 C4(2) =6。随机安排到

三个工作组，必然是 2、1、1 的分组形式，则 A3(3) =6，总情况数 =6×6=36 种。由于和自己

来自同派出所的仅一人，不同派出所的有两人，所以同派出所在一组的情况更少，我们可以

用 1 减掉在同一组概率求解。则 P=1- C2(1) × A3(3) ÷36=  。故正确答案为 A。

▲整除思想

在含有类似于“倍数”、“分数”、“百分数”、“比例”的题目中也可以很好的利用 整除的思想。

1. 特殊数字整除判定

2（5）整除： 观察数字的末位数字能否被 2（5）整除。

4（25）整除： 观察数字的末两位数能否被 4（25）整除。

8（125）整除： 观察数字的末三位数能否被 8（125）整除。 3（9）整除： 观察各位数字之和能否被 3（9）整除。

2. 普通数字整除判定

普通数字的整除判定， 一般采用分解因式的方法进行快速判断。例如：判断一个数字能 否被 6 整除， 6=2×3，则只需要判定该数能否被 2 和 3 整除；判定 531 能否被 47 整除，可 以将 531 分解为（470+61）进行判断。

随笔练习

1. 车间领到一批电影票和球票发放给车间工人，电影票数是球票数的 2 倍。如果每个工 人发 3 张球票，则富余 2 张，如果每个工人发 7 张电影票，则缺 6 张，问车间领到多少张球 票(   )

A.32                    B.30                 C.64                 D.60

※【答案】A。解析：球票总数减去 2 能被 3 整除，结合选项代入验证只有 32 满足。故 正确答案为 A。

2. 某单位原拥有中级及以上职称的职工占职工总数 62.5%。现又有 2 名职工评上中级职

称，之后该单位拥有中级及以上职称的人数占总人数 。则该单位原来有多少名职称在中级

以下的职工？(    )

A.68                    B.66                 C.64                  D.60

※【答案】B。解析：正面计算比较繁琐。题干出现百分数和比例关系，考虑整除思想，

中级及以上开始时是 62.5% 即  ，则中级以下占  ，所以中级以下的人数为 3 的倍数。观察 选项排除 A、C。当 2 人被评上中级职称后，中级以下占  ，原来中级以下人数减 2 为 4 的

倍数。故选 B 项。

▲十字交叉

十字交叉法最先是从溶液混合问题衍生而来的。若有两种质量分别为 A 与

B 的溶液，其浓度分 别为 a 与 b，混合后浓度为 r，则由溶质质量不变可列出下式 Aa+Bb=(A+B)r，对上式进行变形可得 A/B=r-b/a-r，在解题过程中一般将此式转换成如下 形式：

①用来解决两者之间的比例关系问题。

②得出的比例关系是基数的比例关系。

③总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。

除了典型的溶液混合问题，还能应用在两部分混合增长率问题、平均分数、平均年龄等 问题。比值可以是“平均数”“比重”“浓度”“利润率”“折扣”等。

随笔练习

1. 学校体育部采购一批足球和篮球，足球和篮球的定价分别为每个 80 元和 100 元。由 于购买数量较多，商店分别给予足球 25%、篮球 20% 的折扣，结果共少付了 22%。问购买 的足球和篮球的数量之比是多少？(  )

A.4：5                             B.5：6                        C.6：5                        D.5：4

※【答案】 B。解析：典型 A，B 的混合题型，因此采用十字交叉法如下：

即足球价格总额与篮球价格总额之比为 2： 3。设足球共买了 x 个，篮球共买了 y 个， 则可列式为 80x：100y=2：3，解得 x：y=5：6。故本题选 B。

2. 某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占人数的 30％，且 音乐系男女生人数之比为 1： 3，美术系男女生人数之比为 2： 3，问音乐系和美术系的总人 数之比为多少？

A.5：2                             B.5：1                        C.3：1                        D.2：1

※【答案】 D。解析：音乐系男女人数之比为 1：3，可得男生人数占比为 25%，美术系 男女人数之比为 2：3 可得男生人数占比 40，则有：

显然音乐系和美术系男生人数之比为 2：1，故本题选 D。

3. 某商店花 10000 进了一批商品，按期望获得相当于进价 25% 的利润来定价。结果只 销售了商品总量的 30%。为尽快完成资金周转， 商店决定打折销售， 这样卖完全部商品后， 亏本 1000 元。问商店是按定价打几折销售的 ?(   )

A. 九折                             B. 七五折                                 C. 六折

D. 四八折

※【答案】 B。解析：10000 元是总成本，前面 30% 数量的产品利润率是 25%，总的产 品利润率是 -1000/10000=-10%，假设 70% 数量的产品利润率是 X，根据十字交叉法画图：

▲方程思想

（一）基本方程

掌握基本的设元方法， 准确找出题目中的等量关系进行列式， 是数学运算中最重要的方法。

（二）不定方程

除了基本方程外，在我们的解题过程中，经常会遇到含有 1 个未知数的方程，也可能遇 到含有 2 个未知数 2 个方程的方程组，或者 3 个未知数 3 个方程的方程组，这些方程或者方 程组一般都有确定的解。

解不定方程问题常用的解法： 综合利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、 尾数法、余数特性、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。

（三）不等式

在设元求解的过程中，根据题意所得方程可能是等式方程，也可能是不等式方程。即所 求的值是一个数量区间，而非一个定值。相较于等式方程能求出精确值，不等式方程还需要 我们对取值区间做出判断。

随笔练习

1. 某地鼓励农户种植果树，规定每个自然年末种植果树面积比年初增加 5 亩，农民可得  到 2000 元奖金，且超出 5 亩后每增加 1 亩可额外获得 x 元奖金。已知每个自然年种植的果树， 从下一自然年起每亩每年可获得 y 元的果树收入。某农户第一年开始种植果树，当年种植 10  亩，获奖金 3500 元；第二年种植面积扩大 16 亩；第三年种植面积又扩大 15 亩，年收入比

第一年的 16 倍多 1000 元。则以下哪个不等式能准确描述 x 与 y 的关系（   ）（注：年收入

= 奖金 + 果树收入）

A.x ＜ 0.2y                                   B.0.2y ≤ x ＜ 0.5y

C.0.5y ≤ x ＜ y                              D.x ≥ y

※【 答 案 】A。 解 析： 根 据 第 一 年 的 奖 金 情 况 可 列 式 3500-2000=5x， 解  得 x=300， 即 超 出 5 亩 后 每 亩 可 额 外 获 得 300 元 奖 金。 由 此 可 知 第 三 年 总 收  入 =2000+10×300+10y+16y → 5000+26y，  比  第  一  年  收  入  的 16 倍  多 1000，  则  3500×16+1000=5000+16y，解得 y=2000。代入 A 项验证，300 ＜ 2000×0.2。故正确答案为 A。

2. 甲车间的生产效率是乙车间的 1.5 倍，分别生产 1200 件相同的产品，甲车间所需时 间比乙车间少 10 天。问甲、乙两个车间合作生产 3000 件相同的产品需要多少天？(  )

A.20                    B.25                 C.30                 D.35

※【答案】C。解析： 设甲车间的生产效率为 3x， 乙车间的生产效率为 2x， 由题意可 知，1200÷2x-1200÷3x=10，解得 x=20。即甲车间每天生产 3×20=60 件， 乙车间每天生产 2×20=40 件。故题干所求为 3000÷（60+40）=30 天。故本题选 C。

3. 小张从甲地出发匀速前往乙地，同时小李和小王从乙地出发匀速前往甲地，小张和小 李在途中的丙地相遇，小张和小王在途中的丁地相遇。已知小张的速度比小李快一半，小王 的速度比小李慢一半，则丙、丁两地之间的距离与甲、乙两地之间的距离之比为：(  )

A.2：15               B.1：4             C.3：20           D.1：15

※【答案】C。解析：设甲、乙两地的距离为 s，小张、小李、小王的速度分别为 3x、2x、x，

4. 某工厂生产过程中需要用到 A、B、C 三种零件，工厂仓库中原有三种零件的数量比为 1： 2： 3，现在采购部门新购进一批零件，新购进三种零件的数量比是 3： 2： 4，工厂每天使用 的三种零件数量相同， 当 A 零件用完的时候， B 零件还剩下 10 个， C 零件还剩下 170 个， 请问工厂仓库中原有 A、B、C 零件各多少个？(  )

A.40，80，120                                       B.50，100，150

C.60，120，180                         D.70，140，210

※【答案】C。解析：设原有三种零件的数量分别为 x、2x、3x，再次购买的数量分别为 3y、2y、4y，  由于每天使用的三种零件数量相同，所以 A、B、C 三种零件使用的总量相同。 当 A 零件用完时，一共用了 x+3y，则 B、C 两种零件也用了 x+3y。由题意可得方程组：

（2x+2y） - （x+3y）=10，           ①

（3x+4y） - （x+3y）=170，         ②

解得 x=60，y=50。所以原有三种零件的数量分别为 60、120、180。选 C。