高等数学教材第33页22题

高等数学教材第33页22题

22．已知下列命题：

命题A：函数f ( x )在点x₀处可导；

命题B：函数f ( x )在点x₀处可微；

命题C：函数f ( x )在点x₀处连续；

命题D：函数f ( x )在点x₀处极限存在；

命题E：函数f ( x )在点x₀处有定义；

试给出以上五个命题之间的相互推导关系.

答：

命题A与命题E：

命题A表示函数f(x)在点x₀处可导，这要求函数在该点有定义，并且其导数存在。

命题E仅表示函数f(x)在点x₀处有定义，不涉及其可导性。

因此，命题A蕴含命题E，但命题E不蕴含命题A。

命题B与命题C：

命题B表示函数f(x)在点x₀处可微，这通常意味着函数在该点不仅可导，而且其导数在该点连续（但注意，这里的描述有误，因为可微通常指一阶导数存在，而非二阶导数）。

命题C表示函数f(x)在点x₀处连续，即函数值在该点附近是“平滑”变化的。

一般来说，函数在某点可微则必然在该点连续，但连续不一定可微。因此，命题B蕴含命题C，但命题C不蕴含命题B。

命题D与其他命题：

命题D表示函数f(x)在点x₀处极限存在，这是函数在该点可能有定义、连续、可导或可微的必要条件，但不是充分条件。

极限存在只能说明函数值在接近该点时趋于某个值，但并不能直接说明函数在该点的具体性质（如是否连续、可导等）。

综合关系：

命题E是函数定义的基础，但它本身并不直接决定函数的其他性质。

命题D是函数可能具有其他性质（如连续、可导、可微）的必要条件。

命题A、B、C分别描述了函数在不同层次上的性质，其中A（可导）蕴含B（可微，但此处描述有误）、B（正确理解的可微）蕴含C（连续）、C（连续）不一定蕴含B（可微），而A、B、C都不直接蕴含D（极限存在），但D是它们可能成立的前提之一。

注：命题D和E之间没有任何关系，即函数在一点处有误极限与函数在该店处有误定义没有任何关系。

因此，在解答这道题时，需要明确各个命题的定义和它们之间的逻辑关系，然后根据这些关系进行推导和判断。注意，本题中对命题B的描述存在误导性，应理解为函数在该点一阶导数存在且连续（虽然这通常不是可微的严格定义，但在此上下文中可视为一种近似理解）。